向量 & 直線方程

還沒學過向量之前，我們主要是透過斜率來分析直線。如果導入向量的觀念，直線的分析工具瞬間變不少，這篇文會幫同學整理向量在直線方程上的相關應用。

• 直線的參數式 – 參數式是一個通式，目的是能簡單地表示範圍內的每個點，而這個範圍可以是直線、線段或是射線。一個完整的參數式鐵定會包含變數範圍的註明。比較常出錯的情況 – 當參數式為一條直線時，「變數 ∈ R」常被同學給忽略，千萬記住這句話即是在註明範圍，只是範圍很大，涵蓋整個實數域而已。另外，要確切地描繪一條直線，國中的我們習慣用兩點來求，而當斜率的概念日漸純熟後，一個點和一個斜率(一個趨勢)也可以寫出一條直線，也就是著名的「點斜式」。如果上述的趨勢用向量來表示即為方向向量。
• 直線法向量 – 這裡的「法」是垂直的意思，平面直線的法向量為和方向向量垂直的向量，同樣是不唯一。那為什麼要討論和直線方向垂直的向量呢 ? 答案是「方便」!! 因為直線的法向量直接等於一個標準二次方程式的 X 項和 Y 項係數。而且只要「交換一變號」就會變成方向向量
  兩條直線的法向量，代入內積求夾角的公式即可求兩條直線的交角。然而，算出來的餘弦值可能為正(銳角)亦可能為負(鈍角)，這取決於同學法向量的選取。值得注意的是，這兩個互補的交角都是答案喔，除非題目有特別限定要求鈍角或是銳角。
• 點到直線距離

內積應用

繼前篇 向量 & 內積 & 正射影 瞭解內積的物理意義後，這篇要列出內積常見的應用及出題方式，方便同學有效率地建構觀念！

• 公式 – 由基本定義  -「兩向量長度和夾角餘弦值的乘積」可以延伸出兩套公式，如下圖。比較常出錯的是夾角的選擇，記得代公式前要讓兩向量的起點相同，才能看出真正的夾角。
  
•  垂直  & 平行 – 當兩向量垂直，向量內積值為 0，因為兩向量的夾角為 90° ， 又 Cos90° 為 0。另外當兩向量平行的時候，夾角可能是 0° 或是 180° ，意即平行時，方向是不固定的。
• 夾角 – 兩個向量，當有了長度及內積值，即可透過公式求夾角，並且透過餘弦值的正負情形來判斷兩向量的夾角為鈍角或銳角。
• 長度 – 一個向量本身內積本身時，會變成本身長度的平方。
• 正射影 – 投影的向量，詳細解說請參考 向量 & 內積 & 正射影
• 柯西不等式 – 內積公式進一步討論值域的大小即延伸成柯西不等式，如下
• 垂心 & 外心  – 三角形裡和垂直有關的性值即為垂心和外心，並從中代入內積投影的觀念，即會產生下列公式
• 平行四邊形定理 – 「平行四邊形的邊長平方和等於兩對角線的平方和」，此定理除了可用三角函數的觀念來證明外，亦可用向量內積的方法，過程如下

 

向量 & 內積 & 正射影

在學數學的時候，可以適當地和物理做聯想，會比較有感覺，向量就是一個很好的例子。物理上有太多的應用和向量有關係，而這個章節非常適合用國三理化  －「速度」和 「速率」來說明。

速度的計算上只需要起點和終點的資料，不管中間經過了哪裡，永遠都是從起點指向終點，具有方向性質。反之，速率和路徑有關，沒有一定的指向，不具方向性質。

速度其實就是一種向量，因為他同時包含「方向」和「純量」。純量講白話就是指一個數值，表達一個大小。而速率剛好就是一個純量的例子，它能代表的意義只有物體移動的快慢，並不能表示出方向。

先用一個向量 (3, 4) 分成「方向部分」和「純量部分」來舉例

也許同學會覺得有點太廢話了，不過這個簡單的觀念會讓待會要講的正射影簡單很多。在解析正射影之前，要再講一個觀念 – 內積！我們先來回想一下物理的作功，功的定義如下

回頭看一下課本教的內積公式－「兩個向量大小和夾角餘弦的乘積」；其中一個向量的「大小」乘上夾角的餘弦後，意義為「力」在「位移方向」上的分力大小，也就是力的向量在位移向量上的投影量，再乘上位移的大小即為做功。

提醒同學，在看上圖的時候，注意符號的下標，頭上有箭頭符號「→」才是向量，沒有箭頭符號的即是純量，回想一下國中學過的力，是不是有方向有大小？再回想一下位移，同樣也有方向有大小，兩個向量的內積變成一個純量，代表的意義為做功。

當同學對於向量、純量、投影量…等名詞有了基本認知，這時候再來看正射影。直接開門見山，正射影是一個「向量」，代表的意義是某一個向量在另外一個向量上的投影向量！！如下圖

當同學真正地瞭解正射影後，你會發現不需要再背公式。同學只要知道，正射影是一個向量，要寫出這個向量亦即你要想辦法從題目線索中找到這支向量的方向及大小部分。

希望這篇文章能幫同學釐清這個章節的觀念，有了觀念當然還要有一定量的練習，有問題也歡迎留言給我喔。謝謝收看！！

 

內分點座標 ＆ 分點公式 ＆ 三分點公式

這裡要一口氣介紹分點系列的公式，大家先深呼吸…XD，首先是內分點座標，說明如下圖：

內分點座標常見的記法為「乘上對面的比例再除以全部」，但這裡再提供大家另外一個想法：內分點座標其實是一種「權重」，舉個例子，大家以前在學校期末結算成績時，每個科目的占比不會一樣，下面拿數學和體育為例，假設數學的比重為體育的４倍：

不難想像，數學和體育的成績加權後，結果一定會比較接近數學的分數，也就是數學成績在做比例分配的時候，一定要拿比較大的比例才合理，而體育剛好相反。由上圖可以看出比例和距離是成反比的，這也是內分點座標會教你要乘上對面比例的原因。

接著我們看向量的重點公式-分點公式

分點公式的精神其實和內分點座標完全一樣，也可以想成是權重。唯一不同的地方只是點和線的差別而已。

再來是複雜一點的「三分點公式」，說明如下：

三分點公式一言以蔽之，即是用兩次分點公式組成的大公式，而兩次關鍵的比例皆是用面積的比例來觀察(兩三角形同底的時候，高的比例等於面積的比例)。三分點公式的記法為「乘上對面對到的面積再除以全部」。

最後，三分點公式還有特別版，即是當內部的點Ｋ剛好分別是重心和內心的時候，如下圖：

心得：

同學不要硬背公式，建議先從最簡單的內分點座標回想觀念(權重) ; 從點延伸成線段，也就是分點公式 ; 分點公式做兩次即變成三分點公式。最後，重心和內心分別為三分點公式的特殊狀況。

若同學還有問題，歡迎底下留言喔，感謝收看！