還沒學過向量之前,我們主要是透過斜率來分析直線。如果導入向量的觀念,直線的分析工具瞬間變不少,這篇文會幫同學整理向量在直線方程上的相關應用。
- 直線的參數式 – 參數式是一個通式,目的是能簡單地表示範圍內的每個點,而這個範圍可以是直線、線段或是射線。一個完整的參數式鐵定會包含變數範圍的註明。比較常出錯的情況 – 當參數式為一條直線時,「變數 ∈ R」常被同學給忽略,千萬記住這句話即是在註明範圍,只是範圍很大,涵蓋整個實數域而已。另外,要確切地描繪一條直線,國中的我們習慣用兩點來求,而當斜率的概念日漸純熟後,一個點和一個斜率(一個趨勢)也可以寫出一條直線,也就是著名的「點斜式」。如果上述的趨勢用向量來表示即為方向向量。
- 直線法向量 – 這裡的「法」是垂直的意思,平面直線的法向量為和方向向量垂直的向量,同樣是不唯一。那為什麼要討論和直線方向垂直的向量呢 ? 答案是「方便」!! 因為直線的法向量直接等於一個標準二次方程式的 X 項和 Y 項係數。而且只要「交換一變號」就會變成方向向量
兩條直線的法向量,代入內積求夾角的公式即可求兩條直線的交角。然而,算出來的餘弦值可能為正(銳角)亦可能為負(鈍角),這取決於同學法向量的選取。值得注意的是,這兩個互補的交角都是答案喔,除非題目有特別限定要求鈍角或是銳角。 - 點到直線距離